⚽
Vận dụng 1 / Application 1
Thử thách quả bóng nảy / The Bouncing Ball Challenge

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao **5 m** xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \( \frac{2}{3} \) độ cao trước đó. Giả sử quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Gọi \( u_n \) là độ cao sau lần nảy thứ \( n \). Chứng minh rằng \( \lim u_n = 0 \).

A rubber ball is dropped from a height of 5m. After each impact, it rebounds to \( \frac{2}{3} \) of the previous height. This continues indefinitely. Let \( u_n \) be the height after the \( n \)-th rebound. Prove that \( \lim u_n = 0 \).

🔓 GIẢI MÃ QUY LUẬT / DECODE THE PATTERN
🔍

Bước 1: Thiết lập dãy số / Step 1: Establish the sequence

  • Lần nảy 1 / 1st rebound: \( u_1 = 5 \cdot \frac{2}{3} \)
  • Lần nảy 2 / 2nd rebound: \( u_2 = u_1 \cdot \frac{2}{3} = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^2 \)
  • Lần nảy \( n \) / \( n \)-th rebound: \( u_n = 5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^n \)
🎯

Bước 2: Tính giới hạn / Step 2: Calculate the limit

Ta có / We have: \( \lim_{n \to +\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^n = 0 \) (vì \( |q| < 1 \)).
Do đó / Therefore: \( \lim_{n \to +\infty} u_n = 5 \cdot 0 = 0 \)

MÔ PHỎNG VẬT LÝ TOÁN HỌC ● MATHEMATICAL PHYSICS SIMULATION
Sửa lần cuối: Thứ Hai, 11 tháng 5 2026, 8:15 AM