Giới hạn hữu hạn của dãy số / Finite limit of a sequence
❓
Xét dãy số \( u_n = \frac{1}{n^2} \). Giải thích vì sao dãy số này có giới hạn là 0.
Consider the sequence \( u_n = \frac{1}{n^2} \). Explain why this sequence has limit 0.
🚀 NHẤN ĐỂ XEM LỜI GIẢI TỪNG BƯỚC / CLICK FOR STEP-BY-STEP SOLUTION
🔹 BƯỚC 1: Phân tích định nghĩa / STEP 1: Analyze the definition
Dãy số có giới hạn 0 nếu giá trị tuyệt đối \( |u_n| \) có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý khi \( n \) đủ lớn. A sequence has limit 0 if \( |u_n| \) can be smaller than any given positive number for sufficiently large \( n \).
🔹 BƯỚC 2: Minh chứng bằng số liệu / STEP 2: Numerical illustration
Để \( |u_n| < 0,0001 \), ta cần: To have \( |u_n| < 0.0001 \), we need:
Như vậy, từ số hạng thứ 101, mọi số hạng đều nhỏ hơn 0,0001.
🔹 BƯỚC 3: Tổng quát hóa / STEP 3: Generalization
Với mọi số dương \( \epsilon \) bé tùy ý, ta luôn tìm được một chỉ số \( N \) sao cho với mọi \( n > N \) thì \( |u_n| < \epsilon \). For any small positive \( \epsilon \), we can always find an index \( N \) such that \( |u_n| < \epsilon \) for all \( n > N \).
✨ KẾT LUẬN / CONCLUSION
Giới hạn của dãy số \( u_n = \frac{1}{n^2} \) là 0. \( \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \)